吉永良正「数学・まだこんなことがわからない」を読む

 ピタゴラスの時代から数学者を惹き付けてやまなかったのが素数である。ピタゴラス派の人にとって素数は神秘的な数で非常に敬った。素数はたいへんなじみやすい数であるが、素数の世界は深くそして広い。素数については未だにわからないことがたくさんある。 素数は2、3、5、7、------のように1と自分自身以外に約数をもたない数である。素数はたくさんあるが、はたして素数の数は有限なのか無限なのか。答は無限である。これは高校生でも証明できる。素数は無限に大きくなるが、実際に知られている素数には限界がある。次から次へと素数を作りだすことは至難の技である。新しい素数の発見はコンピュータの進歩に委ねられているのかもしれない。
 オイラー・ガウスという超偉大な数学者たちも素数にはそれなりに興味を示しその研究をしているが、適当なところで打ち上げている感じがする。へたに素数の世界に足を踏み入れたら迷路に陥り出てこられないとでも思ったのかもしれない。素数とかフェルマーの大定理などに真剣に関わったら彼らの業績はかなり減ったのではなかろうか。それでもガウスは素数に関して現代でも通用する定理を提示している。素数の数に関するもので、この定理をみるとガウスの天才性が偲ばれる。
 素数は現代でもどのような順序で並んでいるかはわからない。素数だけでなく高度に発達した現代の数学をもってしてもわからない問題はたくさんある。

 吉永良正著「数学・まだこんなことがわからない」<講談社ブルーバックス>は興味深い本である。現代数学が直面している未解決な難問、そして現代数学が挑戦している超難問の代数幾何の問題などについて、それらの問題を解くことの意義そして問題そのものの意味をかなりわかりやすく解説をしてくれている。それでもかなり難解ではあるが。
 この本は1990年に出版され、その時点での有名な未解決問題を扱っているが、それから20年近くたち、その間に解決された問題もある。それはフェルマーの大定理とポアンカレ予想である。フェルマーの大定理は17世紀半ばにフェルマーによって提示された問題で、以後350年の間無数の数学者たちが証明に挑んだ。1994年ワイルズによって証明された。ポアンカレ予想は2003年にロシアの数学者ベレルマンによって証明されている。この2つの問題が証明されたことを知っていても「数学・まだこんなことがわからない」はおもしろい。
 2009年の現在でも未解決な問題は多く、その代表的なものが完全数についてのものと素数に関するものである。素数に関しての未解決な問題はいくつかあるが、中でもとりわけ有名で非常に重要な問題がリーマン予想といわれているものである。
<ゼータ関数において自明でない零点の実数部分は1/2である>
というのがリーマン予想である。ゼータ関数というのは次のような関数である。
ゼータ関数
 sを複素数にまで拡張したとき、(A)の式が0になる複素数sの実数部分がつねに1/2になるというのがリーマン予想である。この予想はたいへん重要でこの予想が証明されると素数の構造が解明され、さらには宇宙の仕組みまでわかるようになるといわれている。リーマンとはリーマン積分でおなじみのドイツの天才数学者である。リーマンがリーマン予想を提示して150年近くたつが未だに未解決のままである。リーマン予想は素数定理から導きだされたものらしい。
 「数学・まだこんなことがわからない」は3つの章からなっていて3章は森理論について解説されている。日本には数学のノーベル賞といわれているフィールズ賞を受賞した数学者が3人おり、森重文は3人目の受賞者である。森の他に、小平邦彦・広中平祐が受賞している。森は広中の後輩で広中と同じ代数幾何の専門家である。
 森は「3次元代数多様体の極小モデルの存在証明」でフィールズ賞を受賞している。たいへん難しい理論であるが、その理論の雰囲気だけはわかるようにしてくれている。天才数学者たちの住む世界を垣間見た気がする。
 
 なぜ数学者は我を忘れて問題に熱中するのか。そこに解けない難問があるからである。数多くの天才といわれている数学者たちが難問に挑み、そして問題を解く過程で新しい概念を構築し、数学はさらに進歩してきたのである。神は無秩序にこの世を作ったのではないことを数学者たちは証明しようとしているのかもしれない。
 「数学・まだこんなことがわからない」は高校生でも読めるように配慮されている。リーマン予想をいつの日か日本人数学者の手で証明されることを私は強く期待している。

にほんブログ村 本ブログ おすすめ本へ


新装版 数学・まだこんなことがわからない (ブルーバックス)新装版 数学・まだこんなことがわからない (ブルーバックス)
(2004/09/22)
吉永 良正

商品詳細を見る

テーマ : 科学・医療・心理 - ジャンル : 学問・文化・芸術

COMMENTS

COMMENT FORM

TRACKBACK


この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)